관찰하여 추측하기

1. 정사각형 모양의 반복구조는 고구려 고분 중 안악 1, 2, 3호분, 호남리 사신총, 수산리 고분, 쌍영총 등의 천장에서 볼 수 있다. 하지만 덕화리에서 발견된 고구려 고분의 천장은 정팔각형 모양이 반복되는 구조이다.(그림 3) 어떻게 쌓아 올린 걸까 각뿔대 모양에 가깝게 쌓아 올린 것은 아닐까 이것을 상상하여 종이 위에 그려 보라. 상상은 즐거운 것이다.

2. 중국 길림성 집안시에 있는 고구려 고분의 천장 그림 중엔 해와 달, 북두칠성이 그려진 것도 있다.(그림 4) 두 대각선의 중심을 기준으로 위, 아래 북두칠성이 대칭(점대칭)을 이루고 있다. 또 왼쪽과 오른쪽에 크기가 다른 원 모양이 각각 1개씩 그려져 있다. 왼쪽의 원 모양이 오른쪽의 원 모양보다 약간 큰 것으로 보아 왼쪽 원 모양이 해를, 오른쪽 원 모양이 달을 나타내는 것으로 추측할 수 있다. 고구려인들은 무덤의 천장을 우주로 생각한 걸까

조금 더 생각하기

1. 정사각형의 각 변에 중점을 찍은 뒤 이 중점들을 연결하면 작은 정사각형이 그려진다. 작은 정사각형의 넓이는 큰 정사각형의 넓이의 몇 분의 몇일까 마주보는 각 변의 중점을 점선으로 이어보라. 처음의 정사각형은 넓이와 모양이 같은 직각 삼각형 8개로 구성돼 있음을 알 수 있다. 그런데 작은 정사각형은 4개의 직각 삼각형으로 이루어져 있다. 따라서 작은 정사각형의 넓이는 큰 정사각형 넓이의 1/2임을 알 수 있다.(그림 5)

2. 위의 과정을 반복할 수 있을 때까지 계속해 보자. 이 때 정사각형 안에 작은 정사각형들이 계속해서 그려진다. 다 그려진 뒤엔 한 귀퉁이에서 넓이가 1/2의 비율로 줄어드는 직각 삼각형을 이어 색칠해 보자. 어떤 도형이 만들어지는가 직각 삼각형의 크기가 점점 작아지면서 대각선의 중심을 향해 말려들어가는 나선 모양의 띠가 만들어진다.(그림 6) 이제 처음 정사각형의 넓이를 1이라 하자. 색칠된 나선 모양의 띠 1개의 넓이는 약 얼마일까 정사각형의 귀퉁이는 모두 4개이므로 정사각형 안에는 4개의 나선 모양의 띠가 만들어진다. 따라서 색칠된 나선 모양의 띠의 넓이는 약 1/4이다.