관찰하고 추측하기

1. 같은 길이의 선분 다섯 개의 끝을 서로 연결하면 오각형이 만들어진다. 이렇게 만들어진 오각형은 내각이 각각 같다. 이 오각형을 수학에선 정오각형이라고 한다. 정오각형의 내각 하나의 크기는 몇 도일까 정오각형을 세 개의 삼각형으로 분할하면 그 답을 알 수 있다. 삼각형의 모든 내각들의 합이 180도이므로 오각형의 모든 내각의 합은 180×3=540도이다. 따라서 정오각형의 한 내각의 크기는 540/5=108도이다.(그림 5)

2. 정오각형을 세 개의 삼각형으로 분할할 때, 두 종류의 이등변 삼각형이 생긴다. 한 내각이 90도보다 큰 이등변삼각형(둔각 이등변삼각형)이 생기고, 세 내각이 모두 90도보다 작은 이등변삼각형(예각 이등변삼각형)이 생긴다. 둔각 이등변삼각형의 세 내각은 36-36-108도이고 예각 이등변삼각형의 세 내각은 36-72-72도이다. 이등변삼각형은 두 밑각이 같다는 사실을 이용하여 쉽게 확인해보자.

조금 더 생각하기

1. 정오각형 안에 몇 개의 대각선을 그을 수 있을까 각 꼭지점에 1부터 5까지 번호를 붙이자. 각 점 1과 3, 1과 4, 2와 4, 2와 5, 3과 5를 선분으로 연결하면 모두 대각선이 된다. 대각선은 모두 다섯 개로 별 모양을 이룬다. 신기하게도 그 내부에 작은 정오각형이 만들어진다.(그림 6) 만약 이 작은 정오각형 안에 대각선을 그으면 어떻게 될까 더 작은 별 모양이 만들어지며 다시 그 안에 정오각형이 만들어진다. 정오각형은 대각선을 이용하면 자기복제가 가능한 도형인 셈이다. 꽃이나 나무들도 이런 신비를 가지고 있는 것은 아닐까 수를 신비롭게 여기는 수학자들은 이런 이유에서 5를 ‘생명의 수’라 부른다.

2. 매듭을 이용하여 정오각형을 접어보자. 좁고 긴 종이로 매듭을 만들 듯이 서로 잡아 묶어 당기면 정오각형이 만들어진다. 다시 안쪽으로 밀어 넣어 햇볕에 비추어보라. 종이가 겹쳐짐으로써 정오각형 안에 별이 보일 것이다.(그림 7)