관찰하고 추측하기

1. 피타고라스의 철학학교 설립 2500주년을 기념해 1955년 8월20일 그리스가 발행한 우표를 하나 살펴보자.(그림 4) 한 변의 길이가 3, 4, 5인 정사각형의 넓이는 각각 9, 16, 25이다. 이 세 수 사이엔 특별한 등식, ‘9+16=25’ 즉, ‘3+4=5’이 성립한다. 이 세 정사각형들이 만들어 내는 직각삼각형의 세 변 3, 4, 5 사이에 ‘3+4=5’인 관계(피타고라스 정리)가 성립한다.

2. 위나라 사람 유휘가 263년 해설을 붙여 쓴 것으로 추정되는 수학책 <구장산술(九章算術)>에 그려진 그림을 살펴보자. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변 중 짧은 변을 구(勾), 긴 변을 고(股), 빗변을 현(弦)이라 하자. 구가 3, 고가 4, 현이 5일 때 ‘3+4=5’이 성립함을 알 수 있다.(그림 5) 그래서 우리 나라를 비롯한 동양에선 이 등식을 ‘구고현 정리’라고 부른다. 왜 이렇게 다른 이름이 붙여진 걸까? 원래 피타고라스보다 훨씬 앞서 이집트 사람들도 이런 사실을 생활에 활용했다. 그러나 피타고라스 학파에 의해 체계적으로 정리되고 증명되었다는 점에서 서양에선 피타고라스 정리로 알려지고, 구고현이 만들어 낸 결과란 점에서 동양에선 구고현 정리로 알려진 것이다.

조금 더 생각하기

1. 고대 그리스의 철학자 플라톤은 모든 사물은 3차원적인 것으로, 다섯 가지의 기본 원자(불, 물, 공기, 흙, 우주)로 되어 있다고 생각했다. 그는 3차원 도형인 입체도형이 다섯 가지 기본 원자를 상징하는 것으로 보았다. 이 도형들은 정사면체(불), 정이십면체(물), 정팔면체(공기), 정육면체(흙), 정십이면체(우주)이다.(그림 6) 그래서 이 다섯 가지의 입체도형들은 ‘플라톤의 입체도형’ 또는 ‘플라톤의 정다면체’라고 불린다.

2. 정다면체는 정사면체, 정이십면체, 정팔면체, 정육면체, 정십이면체 다섯 가지뿐이다. 왜 그럴까? 정삼각형, 정사각형, 정오각형의 한 각은 각각 60도, 90도, 108도이다. 각 꼭지점에 같은 크기의 정삼각형이 3개, 4개, 5개씩 모이면 각각 정사면체, 정팔면체, 정이십면체가 된다. 각 꼭지점에 같은 크기의 정사각형 3개가 모여 정육면체가 된다. 각 꼭지점에 같은 크기의 정사각형이 3개가 모여 정십이면체가 된다.(그림 7)