관찰하고 추측하기

1. 고정된 한 점에서 곡선 위 임의의 한 점까지 선분을 그리면 선분에 의해 잘려진 곡선이 이루는 각이 모두 같은 나선이 있다. 이것을 수학에선 등각나선이라고 부른다. 매는 먹이를 따라갈 때 등각나선을 따라 비행하는 것으로 알려져 있다.(그림 3) 송골매는 시속 약 330㎞로 날 수 있다고 한다. 나선보다 직선으로 날면 훨씬 더 빠를 텐데 송골매는 왜 나선으로 나는 걸까? 이유는 매의 눈이 양 옆에 있어서 머리를 기준으로 한쪽 방향에 있는 목표물을 볼 수 있는 각도가 40도이기 때문이다. 송골매는 등각나선을 따라 날아야 최고 속도를 유지하면서도 자신의 먹이를 따라갈 수 있는 것이다.

2. 앵무조개 껍데기의 단면을 살펴보자. ‘살아 있는 화석’으로 불리는 이 조개는 여러 방으로 이루어져 있고 격벽으로 분리되어 있다. 두 개의 턱이 앵무새의 주둥이 모양을 닮아서 앵무조개라고 불린다. 흰 점처럼 보이는 부분을 곡선으로 연결하면 이 곡선이 등각나선임을 알 수 있다.(그림 4) 앵무조개는 왜 등각나선을 좋아하는 걸까? 관찰과 추측은 사고력 향상의 디딤돌이다.

조금 더 생각하기

1. 닮은 꼴 이등변삼각형들을 이용하면 아름다운 등각나선을 그릴 수 있다. 먼저 각도기와 자를 이용해 세 각이 각각 36, 72, 72도인 큰 이등변삼각형을 그린다. 이 이등변삼각형 안에 같은 각도의 작은 이등변삼각형을 그릴 수 있을 때까지 여러 개 그린다. 컴퍼스를 이용해 중심을 바꿔 가며 원호를 서로 이어서 그리면 아름다운 등각나선을 얻을 수 있다.(그림 5)

2. 이번엔 닮은꼴 정사각형들을 이용해 근사적인 등각나선을 그려 보자. 먼저 각도기와 자를 이용해 한 변의 길이가 각각 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13인 정사각형들을 그림처럼 이어 붙여 그린다. 이 정사각형 안에 중심을 옮겨 가며 사분원(원의 4분의 1)의 원호를 여러 개 이어서 그리면 근사적인 등각나선을 얻을 수 있다.(그림 6) 그런데 정사각형의 한 변의 길이들은 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13인 관계를 만족한다. 이 관계는 피보나치 수열의 가장 단순한 성질이다. 결국 정사각형의 변의 길이가 작은 것부터 차례로 나열하면 피보나치 수열을 이룬다. 이런 관점에서 근사적인 등각나선은 피보나치 나선이라고 불리기도 한다.