당구대 위에 공을 놓고 쿠션(당구대 안쪽 가장자리의 공이 부딪치는 면)의 한 지점을 향해 공을 치면 공은 어떻게 움직일까? 보통의 힘보다 약하게 공을 치면 반사각은 보통의 반사각보다 커지고, 보통의 힘보다 강하게 공을 치면 보통의 반사각보다 작아진다. 왜 그럴까? 쿠션이 고무로 되어 있어 탄력이 영향을 미치기 때문이다.(그림 1)

 관찰하고 추측하기

 1. 빛은 거울에 반사될 때 입사각과 반사각이 같은 것으로 알려져 있다. 수학에선 이 사실을 대칭 개념으로 설명한다. 점 C를 직선 l에 대하여 대칭시킨 점을 C′로 표현하면, 빛은 점 A에서 출발하여 점 C′에 도착하는 것과 같다.(그림 2) 당구대 위에 그림과 같이 세 개의 공이 놓여 있다고 하자. 공 A를 어떻게 쳐야 공 C를 맞힐 수가 있을까? 점 C를 쿠션에 대해 대칭시킨 점 C′를 향해 공 A의 가운데를 보통의 힘으로 치는 것도 한 가지 방법이다. 이것은 쿠션의 지점 B에 수직인 선을 그어 생각할 때 입사각( )과 반사각( )이 같기 때문이다.(그림 3) 쿠션에 두 번, 세 번 반사시켜 공을 맞히려면 어떻게 해야 할까? 대칭을 각각 두 번, 세 번 적용하면 된다. 실제로 실험하여 확인해 보라.

 2. 대부분의 당구대는 직사각형 모양이고 가로 길이와 세로 길이의 비율이 2:1이다. 당구대의 구석에서 쿠션과 45도 각도로 공을 치면 쿠션에 반사되는 횟수는 몇 번이나 될까? 한 번이다. 만약 가로 길이와 세로 길이의 비율이 7:5인 당구대에서 같은 방법으로 공을 치면 쿠션에 공이 몇 번 반사될까? 번호를 붙여 생각하면 쿠션에 공이 반사된 횟수는 10번이다.(그림 4) 비율을 바꾸어 같은 방법을 적용하면 하나의 규칙을 발견할 수 있다. 일반적으로 당구대의 가로 길이와 세로 길이의 비율이 m : n일 때, 구석에서 쿠션과 45도 각도로 공을 치면 쿠션에 반사되는 횟수는 m+n-2임을 알 수 있다.