놀이공원에서 궤도열차를 탈 때마다 열차가 궤도의 안과 밖을 넘나들며 봉우리와 골짜기를 지날 때면 자신도 모르게 소리를 지르게 된다. 궤도열차는 놀람과 재미 속에 일정 시간이 지나면 언제나 출발했던 위치로 돌아온다. 열차가 달린 궤도는 처음 출발 위치로 돌아온다는 점에서 원 모양을 변형한 것 같기도 하고, 안과 밖을 넘나든다는 점에서 뫼비우스 띠를 응용한 것 같기도 하다. 뫼비우스 띠는 안과 밖의 구별이 없는 2차원적인 도형이다. 색종이를 이용해 뫼비우스 띠의 재미있는 성질을 살펴보자.

관찰하고 추측하기

1. 양면 색종이를 길게 잘라내 한 번(180도) 비튼 뒤 풀로 이어 붙이면 비틀어진 고리 모양의 띠가 된다.(그림 1) 이 띠는 1858년 독일의 수학자 뫼비우스(1790~1868)가 발견한 뒤 현재까지 뫼비우스 띠 로 불린다. 한 쪽 면에 연필을 대고 면을 따라 계속 움직여 보라. 처음 자리로 돌아온다. 이런 점에서 이 띠는 안과 밖의 구별이 없는 한 개의 면인 셈이다. 이번엔 가운데에 선을 그어 가위로 잘라 보라. 두 개의 고리 모양의 띠가 될 것 같지만 손가락으로 눌러 보면 네 번 비틀어진 긴 고리가 된다.(그림 2) 이 띠는 뫼비우스 띠가 아니다! 처음 위치로 돌아오는 지 확인해 보면 알 수 있다.

2. 1963년 네덜란드의 화가 에스헤르(1898~1972)가 그린 <뫼비우스 띠 Ⅱ>를 살펴보자. 이 그림엔 9마리의 개미가 그물망 궤도 위를 줄을 지어 이동하고 있다.(그림 3) 개미를 행성으로, 그물망 궤도를 우주공간으로 바꾸면 태양계의 9행성이 생각난다. 다양한 상상을 일으키는 이 그물망 궤도는 과연 뫼비우스 띠일까? 아니다! 뫼비우스 띠와는 달리 궤도를 따라 돌지 않아도 구멍을 통해 원래 출발 위치로 돌아올 수 있기 때문이다. 뫼비우스 띠가 아니면서도 뫼비우스 띠를 생각나게 하는 재미있는 그림이다.

조금 더 생각하기

뫼비우스 띠로 신기한 실험을 해 보자. 두 장의 양면 색종이를 각각 8등분하면 긴 직사각형 모양의 종이를 여러 개 얻는다. 이 중 두 개를 서로 90도가 되게 붙인 뒤 중심에 가로선과 세로선이 서로 90도로 만나도록 중심선을 긋는다.(그림 4)

1. 하나의 띠는 양 끝을 붙여 둥근 띠를 만들고 다른 하나는 한 번 비틀어 뫼비우스 띠를 만들자.(그림 5) 이제 중심선을 가위로 오린 뒤 펼쳐 보라. 신기하게도 비틀어진 면이 펴지면서 정사각형이 얻어진다.(그림 6)

2. 두 개의 띠를 서로 방향이 다르게 한 번 비틀어 붙이자. 90도를 이루며 서로 붙어 있는 두 개의 뫼비우스 띠를 얻는다.(그림 7) 이제 중심선을 가위로 오린 뒤 펼쳐 보라. 신기하게도 사랑을 상징하는 두 개의 하트 모양이 얻어진다.(그림 8)

이제 두 개의 띠가 이루는 각의 크기를 바꾸거나 두 띠의 길이를 바꾸어 보라. 어떤 모양의 도형이 얻어질까? 상상해 보고 확인해 보자. 실험을 통해 발견의 즐거움을 누리자.

김흥규/서울 광신고 교사 heung13@unitel.co.kr (한겨레 함께하는 교육)