관찰하고 추측하기

1. 두 줄을 둥글게 해서 서로 연결하면 매듭이 생긴다.(그림 3) 단순한 매듭이지만 왼쪽 매듭보다 오른쪽 매듭이 더 튼튼하다. 왼쪽 매듭은 사각형 모양의 매듭을, 오른쪽 매듭은 육각형 모양의 매듭을 만드는 방법이다. 실제 줄로 매듭을 만들어 어느 것이 더 튼튼한지 확인해 보라.

2. 과학자들은 전자 현미경으로 디엔에이 구조를 관찰한다. 약이나 바이러스 등에 의해 디엔에이의 구조가 복잡하게 꼬일 수 있다.(그림 4). 이런 구조를 규명하고자 하는 과학자와 수학자들의 노력은 매듭에 대한 연구를 더욱 발전시켰다. 그런데 수학적인 매듭은 생활 속의 매듭과 다르다. 수학적인 매듭은 3차원 공간에서 처음과 끝이 연결된 닫혀 있는 곡선이다. 예를 들어 줄을 자르지 않고 줄을 당기거나 움직여서 원형으로 변형할 수 있으면 매듭이 없는 것이다. 즉 교차점 개수가 0인 매듭이라고 생각할 수 있다.(그림 5) 숫자 0을 닮았다.

조금 더 생각하기

1. 그리스 신화의 고르디우스의 매듭에 대해 생각해 보자. 프리기아의 왕 고르디우스는 왕이 된 것을 기념해 신전 기둥에 황소 마차를 복잡한 매듭으로 묶어 둔다. ‘매듭을 푼 자가 아시아를 지배한다’는 신탁에 많은 사람들이 이 매듭을 풀려고 도전하지만 실패한다. 원정길에 오른 알렉산더가 이곳에 들러 단칼에 매듭을 잘라 버린다. 이후 알렉산더가 고대 오리엔트를 통일했다는 점에서 고르디우스의 매듭을 푼 것으로 평가된다. 그런데 이 이야기가 암시하는 것은 뭘까? 어려운 문제를 풀려면 때론 단순하게 생각할 필요가 있다는 것, 매듭의 문제를 풀면 생명구조가 풀이고 세상을 구할 수 있다는 것은 아닐까?

2. 수학에서 교차점이 세 개인 매듭은 매듭이 1개이다. 교차점 하나를 제거하면 3차원 공간에서 교차점 개수가 0인 매듭으로 변형할 수 있다.(그림 6) 매듭의 종류는 교차점의 개수가 증가하면 크게 증가한다. 최근(1998년)의 연구결과를 보면, 교차점의 개수가 3인 매듭은 한 가지이지만 교차점의 개수가 16인 매듭은 138만8705개나 된다. 교차점의 개수가 16개 이하인 매듭은 170만1935개로 분류되고 있다. 수학에서 연구되는 매듭 이론은 암호 시스템을 개발하거나 디엔에이 복제과정을 밝히는 데 활용되고 있다.