홍대 전철역 근처 한 커피숍의 창살무늬는 수학적 호기심을 유발한다. 이 무늬 속의 정사각형은, 가장자리로 갈수록 이웃한 정사각형의 한 변 길이가 2분의 1로 줄어들고 있었다(그림 1). 그런데 정사각형을 다시 관찰하니 한 변의 길이가 반으로 줄어들지만, 그 개수는 두 배로 늘어나고 있었다. 호수 가에서 던진 돌이 만든 동심원들이 널리 퍼지면서 점점 희미해지듯 큰 정사각형 주변에 정사각형들이 점점 작아져서 사라지는 것 같은 착각이 든다. 같은 모양의 도형을 반복하더라도 크기와 배열을 다르게 하면 독특한 모양을 만들어낸다.

[관찰하고 추측하기]

1. 이런 발상을 미술에 적용한 경우를 살펴 보자. 네덜란드의 예술가 에스헤르(1898~1972)는 정사각형을 네 개로 나누고 다시 삼각형 모양으로 나누어 도마뱀을 그렸다. 도마뱀의 크기와 개수에 주목하여 그림을 잘 살펴 보라. 정사각형의 중심에 가까울수록 도마뱀의 크기는 작아지고, 그 개수는 늘어나고 있다(그림 2). 창살무늬와는 정반대의 발상인 셈이다. 도마뱀의 크기가 반으로 줄어드는 대신 그 개수가 두 배로 늘고 있다! 도마뱀들이 정사각형의 중심에서 나오는 듯도 하고 그 중심으로 빨려 들어가는 듯도 하다.

2. 이번엔 반원을 이용하여 좀 더 수학적으로 살펴 보자. 선분 AB를 그린 뒤 이 선분을 지름으로 갖는 반원을 그려 보자. 반원의 안 쪽에 지름의 길이가 반으로 줄어든 반원을 두 개 그리자. 이번엔 이 두 개의 반원 안쪽에 다시 지름의 길이가 반으로 줄어든 반원을 그리면 이 때 그려지는 반원은 모두 네 개가 된다.

 이런 과정을 되풀이하면 선분 AB 위에 여러 개의 반원들을 그릴 수 있다(그림 3). 만약 이런 과정을 끝없이 되풀이한다면 반원들의 개수는 어떻게 될까? 반원들의 개수는 2의 거듭제곱수로 늘어난다. 단계마다 그려진 반원들의 개수를 숫자로 나타내면 1, 2, 4, 8…이다.