관찰하고 추측하기

1. 서울 목동에 있는 파리공원엘 가면 두 개의 원뿔모양이 눈길을 끈다. 크기가 다른 여러 개의 원판을 크기가 가장 큰 것부터 쌓아올린 모양이다. 모두 27개의 단으로 구성되어 있는 모양이 탑을 연상시키기도 한다(그림 3). 수학에선 원뿔의 부피를 계산할 때 여러 개의 원판들의 부피들을 더하여 근사적으로 계산한다. 이런 계산법을 구분구적법이라고 부른다. 이 조각물을 만든 이는 이런 사실을 알려주려는 것일까 보면 볼수록 수학적인 내용을 강조한 구조물이란 생각이 든다.

2. 서울 용산 역 천장엔 여러 종류의 수학적인 모빌들이 눈길을 끈다. 그 중에서도 크기가 다른 원 모양의 띠 속을 통과하는 원뿔모양이 독특하다. 원뿔에서 밑면에 비스듬히 잘라낸 모양들이 비행하는 물체를 연상시킨다. 원뿔모양을 형성하는 고리 속을 원뿔들이 통과하는 독특한 발상의 모빌이다(그림 4). 쳐다보면 볼수록 마치 비행하는 물체의 속도감을 시각적으로 확인하는 듯한 착각에 빠져들게 된다.

조금 더 생각하기

1. 원뿔을 영어로 콘(cone)이라 한다. 두 개의 원뿔 꼭지를 두 개를 서로 이어 붙여 원뿔 밑면에 평행하게 자르면 잘린 면은 원이 되고, 원뿔 밑면의 윗부분에서 비스듬하게 자르면 잘린 면이 타원이 된다. 원뿔 밑면이 잘리도록 원뿔 밑면에 비스듬하게 자르면 잘린 면이 포물선이 되고, 원뿔 밑면에 직각(90도)이 되도록 자르면 잘린 면이 쌍곡선이 된다(그림 5).

2. 원뿔에 숨겨진 도형인 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 수식으로 나타내면 이차식이 된다. 이 도형들은 모두 곡선이다. 그래서 수학에선 이들 곡선을 보통 ‘이차곡선’이라고 부른다. 이 곡선은 고대 그리스의 수학자 아폴로니우스가 본격적으로 연구한 것 때문에 그의 이름을 따서 ‘아폴로니우스의 곡선’이라고 불리기도 한다. 또 원뿔에서 얻을 수 있는 곡선이란 점에서 ‘원뿔곡선’이라 불리기도 한다. 이런 것들은 생활에 어떻게 사용될까 원뿔면은 거리의 등에서 사용되고(그림 6) 포물선의 반사성질은 전파망원경이나 자동차의 전조등을 포물면으로 만드는 데 이용된다. 타원의 반사성질은 신장의 돌을 수술 없이 충격파로 깨뜨리는 데 이용된다. 쌍곡선의 특성은 냉각효율을 높이기 위해 핵발전소의 면을 쌍곡면으로 만드는 데 이용된다.