관찰하고 추측하기

1. 두꺼운 종이로 정사각형 모양의 맨홀 뚜껑을 만들어 실험해보자. 같은 크기의 정사각형 모양 6개를 오려낸다. 이 중 5개를 투명테이프로 연결하여 뚜껑이 없는 정육면체 모양을 만들자. 나머지 1개의 정사각형 모양을 뚜껑이라고 생각하여 덮으면 맨홀모형이 된다. 이제 맨홀의 뚜껑을 닫았다가 열어야 될 경우를 가정해보자. 실수로 맨홀 뚜껑이 대각선 방향으로 세워 질 경우 뚜껑이 맨홀 안으로 빠지는 것을 알 수 있다. 그 이유는 정사각형의 대각선길이가 정사각형의 한 변보다 더 길기 때문이다. 수학적으로 계산하면 정사각형의 대각선의 길이는 정사각형의 한 변의 길이보다 약 1.414배이다(그림 3).

2. 만약 맨홀의 뚜껑 모양을 정오각형, 정육각형, 정칠각형, …… 등으로 만들면 어떻게 될까 어느 경우나 한 변의 길이보다 더 긴 대각선이 있게 되어 맨홀 안으로 뚜껑이 빠지는 경우가 생긴다. 그렇다면 대각선이 없는 정삼각형 모양으로 맨홀 뚜껑을 만들면 어떨까 물론 이 경우도 맨홀 안으로 빠지는 경우가 생긴다. 실제로 정삼각형 모양을 만들어 실험하면 그 이유를 쉽게 알 수 있다. 실제 실험으로 발견의 기쁨을 누려보라.

조금 더 생각하기

1. 굴러가는 바퀴의 모양은 대부분이 원이다. 바퀴 위의 각 점에서 바퀴의 중심까지의 거리(반지름)가 같고 중심을 축으로 바퀴를 회전시킬 때 원 모양이 가장 잘 굴러가기 때문이다. 원 위의 임의의 두 점을 연결하여 선분을 만들 때 이 선분이 원의 중심을 지나면 어느 경우나 원의 지름이 된다(그림 4). 그래서 맨홀 뚜껑을 원형으로 만들면 뚜껑을 세우더라도 뚜껑이 맨홀 안으로 빠지지 않게 된다. 주의할 점은 맨홀 구멍의 지름을 그 뚜껑의 지름보다 약간 작게 만들어야 한다.

2. 둘레의 길이가 일정한 평면 도형 중 넓이가 가장 큰 도형은 뭘까 짐작했겠지만, 원이다. 실을 이용하여 근사적으로 확인할 수 있다. 길이가 일정한 실로 정삼각형, 정사각형, 원 모양을 만들어 그 안에 구슬을 배열해 보자. 정삼각형 모양의 경우 28개의 구슬이, 정사각형 모양의 경우 35개의 구슬이, 원모양의 경우 40개의 구슬이 들어감을 알 수 있다(그림 5, 6, 7). 보다 엄밀한 수학적 증명은 1902년 허위츠(Hurwitz)에 의해 처음으로 증명되었다.

김흥규/서울 광신고 교사 heung13@unitel.co.kr (한겨레 함께하는 교육)