△ 그림1(위쪽 좌측),그림2(위쪽 우측),그림3(아래)

라일락꽃을 들여다보면 꽃의 일부가 전체의 모습과 비슷하고, 나뭇가지들을 줄기부터 바라보면 종종 같은 방식으로 갈라져 있음을 볼 수 있다. 특히 고사리의 가지와 잎을 보면 전체가 부분과 매우 닮아 있음을 볼 수 있다.(그림1) 수학자들은 이렇게 전체에 속한 일부분이 전체와 닮아 있을 경우 자기닮음을 갖는다고 말한다. 이런 자기닮음은 대개 반복되어 나타난다. 반복되는 자기닮음을 가진 대상들은 수학적으로 표현할 수가 있다. 예를 들어, 구름의 형성과 성장 및 이동을 수학적 기술을 이용하여 컴퓨터 모의실험을 할 수 있다. 이런 모의실험을 적절히 수행할 수 있다면 거대한 폭풍으로 인한 자연재해를 예방하는데 도움이 될 것이다.
조금 더 생각하기

1. 전기의 방전 모양, 마른 땅의 갈라진 모양, 금속의 부식으로 생긴 선의 모양, 해안선의 꼬불꼬불한 모양, 허파의 모양, 신경망의 가지 모양 등에서 자기닮음을 발견할 수 있다. 1975년 프랑스의 수학자인 망델브로(Mandelbrot:1924~)는 전체와 닮은 불규칙하고 조각난 모양에 프랙탈(fractal)이란 이름을 붙였다. 부서진 상태를 뜻하는 라틴어 형용사 fractus와 같은 어감을 갖는다. 현재 프랙탈 이론은 컴퓨터의 발달과 더불어 다양한 과학·예술 분야를 비롯한 여러 분야에서 응용되고 있다.

2. 프랙탈 도형을 수학적으로 만들어 보자. 먼저 이 정삼각형의 각 변의 중점을 이어 정삼각형 안에 작은 정삼각형을 그린다. 가운데 작은 정삼각형을 제외한 다른 변의 각 중점을 이어 다시 작은 정삼각형을 그린다. 이런 과정을 반복하면 정삼각형 안에 자신을 닮은 작은 정삼각형들이 생겨난다. 일부를 떼어내어 관찰하면 전체와 같은 구조를 가짐을 발견할 수 있다. 예를 들어, 처음의 정삼각형의 한 변을 2등분하여 만들어지는 작은 정삼각형의 넓이는 처음 정삼각형의 넓이의 4분의 1이 되고, 처음의 정삼각형의 한 변을 4등분하여 만들어지는 작은 정삼각형의 넓이는 처음 정삼각형의 넓이의 16분의 1이 된다.(그림2)

프랙탈 카드 만들기

자기 닮음의 성질을 가지는 도형인 프랙탈의 특성을 볼 수 있는 프랙탈 카드를 만들어보자. 먼저 같은 크기의 카드 속지와 표지를 준비한다. 종이를 반으로 접어, 접은 선을 셋으로 나눈 삼등분점에서 높이의 반만큼 자른다. 이 때 가운데 부분을 접은 뒤 펴서 다시 안쪽으로 접어 넣는다. 접은 선이 있는 곳마다 이 과정을 반복하여 자르고 접고, 펴서 안쪽으로 접어 넣는다. 같은 과정을 가능한 단계까지 반복한다.(그림3) 그림에서 위의 그림은 접고 자르는 과정을 나타내며 아래 그림은 이것들을 펼친 것을 나타낸다. 처음과 같은 크기의 카드 표지를 반으로 접어서 위에서 만든 프랙탈 카드 속지와 표지를 풀로 겹쳐 붙이면 입체 프랙탈 카드가 완성된다. 색깔, 크기, 방법을 다르게 하면 다양한 프랙탈 카드를 만들 수 있다. 프랙탈 카드에 마음과 글을 담아 소중한 사람들에게 보내보자.

김흥규/서울 광신고 교사 heung13@unitel.co.kr (한겨레)