세계 4대 문명의 하나인 이집트 문명은 나일강 유역에서 발생했다. 그런데 나일강은 해마다 상류 지방의 눈이 녹을 무렵이면 엄청난 양의 물이 흘러 하류 지방을 범람시킨다. 나일강의 범람으로 상류 지역의 비옥한 흙이 하류 지역에 운반되어 쌓임으로써 홍수가 끝난 뒤 농사에 도움이 되기도 하지만 각 농토의 구분선을 지워버리기 일쑤였다. 나일강의 범람으로 인해 없어진 농토의 구분선을 해결하기 위해 측량학(기하학)이 발전하였다. 이집트의 피라미드를 통해 이집트의 기하학을 살펴보자. 이집트의 피라미드 중에서 최대의 규모라고 알려진 것은 쿠푸왕 때 건설된 피라미드이다. 1925년 이집트 정부의 보고서를 보면, 남쪽 변의 길이가 230.45m, 동쪽 변의 길이가 230.39m, 서쪽 변의 길이가 230.36m, 북쪽 변의 길이가 230.24m이고 높이는 146.60m(현재는 약 137m)로 경사각(옆면과 밑면이 이루는 각)은 51도 52분(1도는 60분)이었다. 피라미드엔 어떤 수학적인 비밀이 담겨 있을까(그림1)

관찰하고 추측하기

1. 쿠푸왕의 피라미드 경사각이 약 52도인 이유는 뭘까 모래실험을 통해 추측해 보자. 잘 마른 모래를 탁자 위에 조금씩 흘려 모래산을 만들어 보라. 모래가 가장 높이 쌓였을 때 이 모래산의 경사각을 계산하면 약 51도 남짓이다. 이 경사각은 자연적으로 만들어진 각이다. 혹시 피라미드의 설계자는 자연스럽게 만들어진 각이 가장 안전하다고 생각한 것일까(그림2)

2. 바퀴 둘레를 줄로 묶었다가 펼쳐 그 길이를 잰 뒤 바퀴의 둘레 길이를 그 지름의 길이로 나누어 보라. 약 3.14가 된다. 일반적으로 원형모양은 그 크기에 관계없이 원둘레에 대한 지름의 비가 항상 일정하다. 이 일정한 비율을 보통 원주율이라 부르고 π로 나타낸다. 이제 쿠푸왕의 피라미드 밑면의 둘레의 길이의 반을 그 높이로 나누어 보라. 둘레 길이의 합이 921.44m이고 높이가 146.6m이므로 460.72/146.6을 계산하면 약 3.1427이다. 혹시 고대의 이집트인들이 길이를 재는 데 수레바퀴를 주로 이용한 것은 아닐까(그림3, 4)

조금 더 생각하기

1. 쿠푸왕의 피라미드는 근사적으로 한 변의 길이가 약 230m인 정사각형 모양의 밑면과 높이가 약 147m인 정사각뿔에 가깝다. 피라미드의 옆면과 밑면이 이루는 경사면의 기울기를 계산하면 147/115, 즉 약 1.28이다. 또 삼각비로 경사각을 계산하면 약 51.9도이다.

2. 크기가 같은 공 모양의 물건으로 정사각뿔 모양의 피라미드를 쌓아보자. 필요한 물건은 2층 피라미드의 경우 1+4, 즉 5개가 필요하고, 3층 피라미드의 경우 1+4+9, 즉 14개가 필요하고, 4층 피라미드의 경우엔 1+4+9+16, 즉 30개의 물건이 필요하다. 17층 피라미드를 만들려면 몇 개의 물건이 필요할까 수의 규칙을 발견하면 손쉽게 1785개의 물건이 필요함을 알 수 있다.(그림 5, 6)

김흥규/서울 광신고 교사 heung13@unitel.co.kr (한겨레 함께하는 교육 20040208)