서울 상암 월드컵 보조경기장 부근의 축구공 모양 구조물 앞에 서면 자세히 관찰하게 된다. 점, 선, 면, 정삼각형, 정오각형, 정육각형, 정팔각형, 원 등 온통 수학적 도형으로 만들어져 있기 때문이다.(그림 1) 이 구조물에는 어떤 수학적 의미가 담겨 있는지 살펴 보자.

1. 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라 한다. 이 도형을 이용하여 정오각형, 정육각형을 만들려면 어떻게 해야 할까? 같은 크기의 정삼각형들을 다섯 개 이어 붙이면 정오각형을, 여섯 개 이어 붙이면 정육각형을 만들 수 있다. 따라서 정삼각형 모양을 이어 붙이면 축구공 모양을 만들 수 있는 것이다. 그런데 축구공 모양 구조물은 팔각정의 기둥을 줄로, 지붕을 축구공 모양으로 바꾼 것은 아닐까? 상상은 즐거운 것이다.(그림 1, 2)

2. 이번엔 이 구조물의 기둥을 둘러싼 줄에 대해 살펴보자. 세로로 엇갈려 연결된 직선 모양의 여러 줄들이 곡선을 만들어낸다. 좌우에 완만한 두 곡선, 즉 쌍곡선이 보인다. 이 구조물 주변을 한 바퀴 돌아보라. 두 쌍곡선은 계속 보일 것이다. 줄의 개수를 더 늘리면 어떻게 될까 수많은 쌍곡선들이 하나의 곡면을 만들어내는 것처럼 보일 것이다. 수학에선 하나의 축을 중심으로 회전시켜 얻은 면을 쌍곡면이라 한다. 이런 쌍곡면을 이용한 생활 용품이 있을까? 톱니 기어나 컵 등에서 발견할 수 있다.(그림 3)

1. 정삼각형 20개를 서로 이어붙이면 20개의 면으로 구성된 입체도형을 얻는다. 수학에선 이 도형을 정20면체라 부른다. 이 도형의 각 변(모서리)을 3분의 1씩 잘라내면 어떤 일이 벌어질까? 12개의 꼭지점은 정오각형으로 바뀌고, 20개의 면은 정육각형으로 바뀐다. 즉, 정20면체의 꼭지점 부분이 잘라져서 정20면체가 32면 입체도형으로 변신을 한 셈이다.(그림 4) 현재의 축구공은 정오각형 12개와 정육각형 20개를 가진 32면 입체도형이다. 2002년 월드컵 공인구인 피버노바도 32면 입체도형임을 알 수 있다.(그림 5)

2. 현재까지 알려진 가장 작은 축구공은 뭘까? 그것은 ‘나노(10억분의 1m 크기) 축구공’이라 불리는 시(C)60 분자이다. 시60 분자는 1985년 과학자 컬 등에 의해 발견되었다. 이들은 탄소 클러스터의 질량을 측정하다, 질량수로부터 60개의 탄소덩어리(시60)가 가장 안정하다는 것을 알았다. 미국의 건축가인 풀러(1895~1983)의 돔에서 힌트를 얻어 시60의 구조가 정육각형 20개와 정오각형 12개로 만들어진 축구공의 구조일 것이라고 추측했다.(그림 6) 이 추측은 1991년 엑스선 회절이나 적외 스펙트럼 등의 측정으로 옳다는 것이 증명되었다.