53-25(받아내림이 필요한 뺄셈)와 같은 문제를 풀 때 어떻게 가르치는가?

미국교사들은 빌려오기를 사용하고 나 역시 빌려오기 개념을 사용하여
받아내림이 필요한 뺄셈을 가르쳤다.

여기에선 중국교사들의 방식을 보고 배워보겠다.

예) 나는 곧바로 뺄 수 있는 문제부터 가르칩니다. 예를 들면 43-22 , 이 문제를 풀면 43-27문제로 바꿉니다. 첫 번째와 두 번째 문제는 어떻게 다른가? 두 번째 문제를 계산할 때 어떤일이 일어나는가?

학생들은 7이 3보다 더 크다는 걸 알아냅니다. 그러면
\"좋아, 지금은 일의 자리가 모자라지? 하지만 때로는 일의 자리가 넘칠 때도 있어. 지난주에 받아올림이 필요한 덧셈을 할 때, 일의 자리가 넘친 적이 있었다는 것을 기억하지? 그때 우리가 어떻게 했지?\"

그러면 학생들은 그것을 십의 자리로 올렸다고 대답하지요. 일의 자리가 넘쳐서 십의 자리로 올린다면, 일의 자리가 모자랄때는 어떻게 해야 할까요? 물론 10 하나를 다시 일의 자리로 떨 수 있지요.

\"40에서 10을 떨면 어떻게 될까? 그러면 일의 자리가 넘치겠지.\"
이런식으로 나는
\"더 높은 값의 1단위를 낮은 값의 10단위로 떨기\"라는 개념을 가르치겠습니다.

그렇다면 \'빌려오기\'보다 \'떨기\'(주판에서 떤다라는 의미의 떨기-더 높은 값의 단위 하나를 해체하기)라는 은유가 더 타당한 이유는?

예) 우리 학생들 가운데 일부는 \"십의 자리에서 1단위를 빌려와서 그것을 10으로 간주한다\"를 부모에게 배웠을 수도 있어요. 나는 학생에게 10을 빌려오는게 아니라 10을 떠는것이라고 설명할 거예요.

\"빌려오기\"로는 10을 어떻게 일의 자리로 가져올 수 있는지 설명할 수 없어요. 그러나 \"떨기\"로는 가능해요. 떤다고 말할 때, 이 말은 높은 자리의 숫자가 사실상 낮은 자리의 숫자로 구성되어 있다는 것을 뜻해요. 그것들은 상호 교환이 가능해요.

\"빌려오기\"라는 용어에는 구성과 해체의 의미가 전혀 담겨 있지 않아요.

\"1단위를 빌려서 그것을 10으로 바꾼다\"는 것은 자의적인 소리로 들려요. 우리학생들은 물을 거예요. 어떻게 10의 자리에서 빌려올 수 있냐고, 뭔가를 빌리면 우리는 나중에 그것을 돌려주어야 하는데 나중에 무엇을 어떻게 돌려주죠? 게다가 뭔가를 빌리려면 빌려주겠다는 사람이 있어야 하는데 십의 자리가 일의 자리에게 빌려주기 싫다면 어떡하죠?

따라서 떨기 개념을 사용하면 뺄셈에서 일어나는 특정형태의 리구루핑을 명확히 나타낼 수 있다. 게다가 뺄셈절차가 덧셈 연산과도 관계가 있다는 것을 보여줄수 있다. 따라서 떨기개념을 사용하여 좀더 개념에 기초한 뺄셈학습을 유도할 수 있고 , 학생들의 이전 학습을 강화할수도 있다.

진율(더 높은 값의 단위 구성 비율)
개념 지향적인 중국 교사들은 \"떨기\"라는 개념으로 [취하기]와 [바꾸기] 단계를 사실상 한꺼번에 설명했다. 더 나아가 [진율]을 언급했다. 학생들은 리그루핑을 배우기 전에 [진율]을 먼저 알아야 하고 수시로 [진율]학습을 강화시켜야 한다고 본다.

그런 개념을 가지면 높은 자릿값이 낮은 자리의 10 혹은 10의 거듭제곱 값으로 이뤄지는 이유를 더 잘 이해할 수 있기 때문이다.

예) 진율이란 무엇인가? 진율이란 10입니다. 10 안에 1이 몇 개 있는가를 묻는 진율이 무엇인가를 묻는 학생들이 10이라고 대답하는 것은 똑같아요. 그러나

두 질문의 학습효과는 똑같지 않습니다. 십의 자리 1이 곧 10이라는 것을 학생들에게 말한다는 것은 절차상의 사실을 말하는 겁니다. 그리고 그런 말은 사실에 한정되어 있어요.

그러나 학생들에게 진율을 생각해보도록 하면, 사실만이 아니라 절차까지 설명하는 하나의 이론을 깨닫게 할 수 있습니다. 그러한 깨달음은 특정 사실 하나를 아는 것보다 훨씬 더 위력적이예요. 다른 여러 상황에 적용할수 있으니까요. 진율이 곧 10이며 1십을 10일로 해체하는 것도 진율때문이라는 것을 일단 깨달으면 학생들은 그것을 다른 상황에 적용할 수 있게 될 것입니다.

그래서 장차 세 자릿수 뺄셈을 배울 때 1백은 곧 10십이라는 것을 새롭게 가르칠 필요가 없게 됩니다. 스스로 알아낼 수 있으니까요.

이 때 진율을 배워두면 여러 자릿수의 뺄셈을 다루는데 도움이 되고 더 복잡한 다른 문제를 푸는데에도 도움이 돼요. 1십을 10일로 해체하거나 1백을 10십으로 해체하는 것은 1단위를 하나 낮은 자리값의 10단위로 대체하는 거예요.

그러나 때로는 1단위를 낮은 자릿값의 100단위, 혹은 1000단위 이상으로 해체해야 할 때도 있어요. 예를 들어 302-17를 계산하기 위해서는 1백을 100일로 해체해야 할 필요가 있어요. 또 10005-206이라는 뺄셈을 하려면 1십이 곧 10일이라는 사실만 알고 있는 학생이라면 그런 문제를 어떻게 풀어야 할지 모를거예요.

그러나 학습초기에 미리 진율을 배우면, 그런 새로운 문제의 해법을 스스로 찾아낼 수 있을 거예요.

정리하면 두 자릿수의 뺄셈을 가르치면서도 더 많은 자릿수의 뺄셈에 필요한 테크닉을 예상하며 접근한다. 여러자릿수의 뺄셈은 1백을 여러 십으로 1천을 여러 백으로 해체하는 문제를 포함하고 있다. 또한 1단위를 10으로 해체하는 것이 아니라, 10의 거듭제곱 단위로 해체하는 문제도 포함하고 있다. 예를 들어 1천을 100십으로 해체할 필요도 있다. 이러한 \'선견지명\'은 교사들의 철저한 주제이해에서 비롯하는 것이다.

받아올림이 필요한 덧셈을 배울 때, 진율개념을 익힌다. 뺄셈을 가르칠 때 학생들이 진율 개념을 다른 관점에서-구성이 아닌 해체 관점에서- 새롭게 바라보도록 한다. 이런 방식은 기본 개념에 대한 초기 학습을 확실하게 증진시킨다.

1십은 곧 10일이라는 교환개념에 비해, 진율 개념은 수학이해의 깊이를 더할수 있다. 진율은 수 체계의 기본이 되는 개념이다. 중국교사들의 [바꾸기]단계를 덧셈의 [구성]개념과 연계시키는 것은 사실의 밑바탕에 놓인 기본 개념에 대한 통찰을 반영하는 것이며, 단일한 사실 속에서 근본 개념을 드러내는 능력을 반영하는 것이다.